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为什么要引入齐次坐标系？
问题: 两条平行线可以相交。
在欧几里德空间(几何学)中，在同一平面上的两条平行线不可能相交，或永远不会相遇。 这是一个常识,每个人都熟悉。
然而，在投影空间中这不是真的，例如，在下面的图中铁路轨道离眼睛远的地方变窄了。 最后，两条平行的轨道在地平线处相遇，交点在无穷远处。
欧几里德空间(或笛卡尔空间)可以很好的描述我们的2D/3D几何，但是他们不能满足对投影空间的处理(实际上，欧几里德几何是投影几何的一个子集)。一个2D点的笛卡尔坐标可以表示为$(x, y)$。
如果这点移动到无穷呢？可以这样表示$(\infty, \infty)$，这样在欧几里德空间它将变的没有意义。 在投影空间两条平行线应该在无穷远处相遇。数学家已经发现了一种解决这个问题的方法。
解决方法：齐次坐标
齐次坐标使在投影空间中进行图形和集合的计算成为可能。齐次坐标是一种用$N + 1$个数字表示$N$维坐标的方法。
为了作成二维齐次坐标，我们简单的添加一个额外的变量$w$到已有的坐标中。 因此，在笛卡尔坐标系中的一个点$(X, Y)$变成齐次坐标系中的点$(x, y, w)$。并且在笛卡尔坐标系中的$X$和$Y$可以用在齐次坐标系中的$x$,$y$和$w$重新表示为：
举个例子，在笛卡尔坐标系中点$(1, 2)$，在齐次坐标系中变成$(1, 2, 1)$。在笛卡尔坐标系如果点$(1, 2)$移动到无穷远处，就变成$(\infty, \infty)$, 而在齐次坐标系中变成$(1, 2, 0)$，这是因为 $(\frac{1}{0}, \frac{2}{0}) = (\infty, \infty)$。需要注意的是我们可以不使用$\infty$表示一个无穷远处的点。
为什么叫作齐次？
正如前面提到过的，为了将齐次坐标$(x,y,w)$转变到笛卡儿坐标，我们简单地用$w$分别除以$x$和$y$:
转变将齐次坐标到笛卡儿坐标，我们发现一个重要的事实。让我们看下面的例子:
就像你看到的，点$(1, 2, 3)$，$(2, 4, 6)$和$(4, 8, 12)$对应相同的欧几里德点$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$。乘以任意标量的$(1a, 2a, 3a)$是欧几里德空间中的同一点$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$。因此这些点是齐次的因为它们代表欧几里德空间(或笛卡尔空间)中的同一点。换句话说，齐次坐标具有标量不变性。
证明：两条平行线可以相交
在欧几里得空间考虑下面的线性系统：
当$C \neq D$时，我们知道上面的方程组是无解的。 如果$C = D$，两条线是同一个(重合)。
让我们为投影空间重写这个方程组，分别替换$x$和$y$为$\frac{y}{w}$和$\frac{y}{w}$。
现在，我们有一个解$(x, y, 0)$，因为$(C - D)w = 0$，所以$(w = 0)$。 因此两个平行线在$(x, y, 0)$处相交，该点在无穷远处。
在计算机图像中，齐次坐标是非常有用的，是基础概念。例如，投影3D场景到2D平面。